Group 2 Notes
Reasoning

సంఖ్యా శ్రేణిలో తరువాత సంఖ్య, లోపించిన సంఖ్య ఎలా కనుక్కోవాలి? (Number Series Reasoning)

Nookesh Karri ·· 10 min read
Dark navy cover card with the subject name in amber, an amber accent bar and the title 'సంఖ్యా శ్రేణిలో తరువాత సంఖ్య, లోపించిన సంఖ్య ఎలా కనుక్కోవాలి? (Number Series Reasoning)' in white

Number series reasoning అంటే ఒక నియమం (rule) ప్రకారం వరుసగా వచ్చే సంఖ్యలలో ఆ నియమాన్ని పట్టుకుని, తరువాత సంఖ్యను (next number) లేదా మధ్యలో లోపించిన సంఖ్యను (missing number) కనుక్కోవడం. ఈ ప్రశ్నలకు ఒకే దారి పనిచేస్తుంది: తేడాలు (differences), తర్వాత తేడాల తేడాలు, తర్వాత గుణకారం (ratio), తర్వాత బేసి-సరి స్థానాలు. నియమం దొరికాక అది ఇచ్చిన ప్రతి సంఖ్యకూ సరిపోతుందో చెక్ చేస్తే చాలు.

ఈ పోస్ట్‌లోని ప్రతి ఉదాహరణను ప్రోగ్రామ్‌తో లెక్కించి సరిచూశాను.

APPSC Group 2 సిలబస్‌లో సంఖ్యా శ్రేణులు (Number Series) ఎక్కడ ఉన్నాయి?

సంఖ్యా శ్రేణులు (Number Series) APPSC Group 2 Screening Test లోని Mental Ability విభాగంలో ఉన్నాయి. అధికారిక Group-II సిలబస్ ప్రకారం “General Studies and Mental Ability (150M)” లో “Mental Ability (30M)” ఒక భాగం, అందులో Number Series, Letter Series, Odd Man out, Coding - Decoding మొదలైనవి ఉన్నాయి.

Main Examination సిలబస్‌లో number series లేదు. Careers360 సిలబస్ పేజీ కూడా Screening Test ను 150 marks, 150 questions గా చెబుతుంది.

తరువాత సంఖ్య, లోపించిన సంఖ్య: తేడా ఏమిటి?

తరువాత సంఖ్య (next number) ప్రశ్నలో శ్రేణి చివర “?” ఉంటుంది. లోపించిన సంఖ్య (missing number) ప్రశ్నలో ఖాళీ మధ్యలో ఎక్కడైనా ఉంటుంది. రెండింటికీ నియమం కనుక్కునే పద్ధతి ఒకటే, కానీ చెక్ చేసే విధానం కొంచెం మారుతుంది.

  • తరువాత సంఖ్య: నియమం కనుక్కుని, చివరి సంఖ్యకు ఒకసారి అప్లై చేయండి.
  • లోపించిన సంఖ్య: ఖాళీకి ముందు భాగం నుంచి నియమం కనుక్కోండి. ఖాళీ నింపాక, దాని తరువాత సంఖ్యలు కూడా అదే నియమంతో రావాలి.

Number series reasoning ను సాల్వ్ చేసే స్టెప్-బై-స్టెప్ పద్ధతి

Number series reasoning ప్రశ్నకు ఒక స్థిరమైన క్రమం పెట్టుకుంటే సమయం వృథా కాదు. ఈ క్రమం LearnTheta, JobCannon గైడ్‌లు చెప్పే పద్ధతుల ఆధారంగా ఉంది.

  1. తేడాలు రాయండి: ప్రతి సంఖ్యను తరువాతి సంఖ్య నుంచి తీసివేసి, సంఖ్యల మధ్య కింద రాయండి.
  2. తేడాల తేడాలు: మొదటి వరుస తేడాలు స్థిరంగా లేకపోతే, వాటి తేడాలు రాయండి.
  3. తెలిసిన జాబితాలు: తేడాలు వర్గాలు (squares), ప్రధాన సంఖ్యలు (primes), రెట్టింపులు అవుతున్నాయా చూడండి.
  4. నిష్పత్తి (ratio): సంఖ్యలు వేగంగా పెరిగితే, ప్రతి సంఖ్యను ముందుదానితో భాగించండి.
  5. బేసి-సరి స్థానాలు: ఏదీ పనిచేయకపోతే, 1వ, 3వ, 5వ స్థానాలు ఒక శ్రేణి, 2వ, 4వ, 6వ స్థానాలు ఇంకో శ్రేణి అని విడదీయండి.
  6. కలిపిన operations: ×2 +1 లాంటి రెండు దశల నియమం ప్రయత్నించండి.
  7. చెక్: నియమంతో ఇచ్చిన ప్రతి సంఖ్యను మళ్లీ తయారు చేయండి.

రకం 1: స్థిర తేడా (Constant Difference)

స్థిర తేడా శ్రేణిలో ప్రతి సంఖ్యకు ఒకే సంఖ్య కలుపుతారు లేదా తీసివేస్తారు. దీనినే అంకశ్రేణి (arithmetic series) అంటారు.

ఉదాహరణ: 17, 23, 29, 35, 41, ?

  • తేడాలు: 6, 6, 6, 6.
  • కాబట్టి 41 + 6 = 47.

పరీక్షలో ఇదే సులభమైన రకం. దీని మీద సమయం ఖర్చు పెట్టకండి.

రకం 2: తేడాల తేడా (Difference of Differences)

తేడాల తేడా శ్రేణిలో మొదటి వరుస తేడాలు మారుతూ ఉంటాయి, కానీ ఆ తేడాలు ఒక క్రమంలో పెరుగుతాయి. Open Exam Prep చెప్పినట్టు ఏ వరుస స్థిరంగా మారితే అక్కడ ఆగండి.

ఉదాహరణ 1: 2, 5, 10, 17, 26, ?

శ్రేణి 2 5 10 17 26 ?
తేడాలు 3 5 7 9 11
  • రెండవ వరుస తేడా ఎప్పుడూ 2.
  • కాబట్టి తరువాత తేడా 11, సమాధానం 26 + 11 = 37.
2, 5, 10, 17, 26, ? శ్రేణిలో వరుస తేడాలు +3, +5, +7, +9, +11 గా 2 చొప్పున పెరుగుతాయని, సమాధానం 26 + 11 = 37 అని చూపే రేఖాచిత్రం

తేడాల తేడా: తేడాలు 3, 5, 7, 9 ప్రతిసారీ 2 పెరుగుతున్నాయి, కాబట్టి తరువాతి తేడా 11, సమాధానం 37.

ఉదాహరణ 2: 2, 12, 30, 56, 90, ?

  • తేడాలు: 10, 18, 26, 34. ఇవి ప్రతిసారీ 8 పెరుగుతున్నాయి.
  • తరువాత తేడా 42, సమాధానం 90 + 42 = 132.

తగ్గే శ్రేణి: 100, 94, 85, 73, 58, ? లో తేడాలు −6, −9, −12, −15. తరువాత తేడా −18, సమాధానం 40.

రకం 3: గుణకారం, భాగహారం (Multiplication and Division)

గుణకార శ్రేణిలో ప్రతి సంఖ్యను ఒకే సంఖ్యతో గుణిస్తారు, దీనిని గుణశ్రేణి (geometric series) అంటారు. సంఖ్యలు చాలా వేగంగా పెరిగితే, తేడాల కంటే ముందే నిష్పత్తి చూడండి.

  • 2, 6, 18, 54, 162, ? → ప్రతిసారీ ×3, సమాధానం 486.
  • 3, 6, 12, 24, ? → ప్రతిసారీ ×2, సమాధానం 48.
  • 128, 64, 32, 16, ? → ఇది తగ్గుతోంది: ÷2, సమాధానం 8.

3, 6, 12, 24 లో తేడాలు 3, 6, 12 కూడా రెట్టింపు అవుతాయి. తేడాలతో వెళ్లినా, నిష్పత్తితో వెళ్లినా ఒకే సమాధానం వస్తే మీ నియమం సరైనదే.

రకం 4: వర్గాలు, ఘనాలు (Squares and Cubes)

వర్గాలు, ఘనాల శ్రేణిలో ప్రతి సంఖ్య ఒక సంఖ్య యొక్క వర్గం (n²) లేదా ఘనం (n³) అవుతుంది. అందుకే 1 నుంచి 30 వరకు వర్గాలు, 1 నుంచి 10 వరకు ఘనాలు నోటికి వచ్చి ఉండాలి.

  • 1, 4, 9, 16, 25, ? → 1², 2², 3², 4², 5², సమాధానం 6² = 36.
  • 8, 27, 64, 125, ? → 2³ నుంచి 5³ వరకు, సమాధానం 6³ = 216.
  • 121, 225, 361, 529, ? → 11², 15², 19², 23². మూల సంఖ్యలు 4 చొప్పున పెరుగుతున్నాయి, సమాధానం 27² = 729.

తేడాలలో వర్గాలు: 3, 4, 8, 17, 33, 58, ? లో తేడాలు 1, 4, 9, 16, 25. తరువాత తేడా 36, సమాధానం 94.

వర్గాల శ్రేణిలో తేడాలు 5, 7, 9 లాగా బేసి సంఖ్యలుగా వస్తాయి, ఎందుకంటే n² నుంచి (n+1)² కు దూరం 2n+1. ఘనాల శ్రేణిలో మూడవ వరుస తేడా స్థిరంగా 6 వస్తుంది.

రకం 5: ప్రధాన సంఖ్యలు (Prime Numbers)

ప్రధాన సంఖ్యల శ్రేణిలో సంఖ్యలు గానీ, వాటి తేడాలు గానీ వరుస ప్రధాన సంఖ్యలుగా ఉంటాయి. ప్రధాన సంఖ్యలు 1 మరియు అదే సంఖ్యతో మాత్రమే భాగించబడతాయి.

  • 2, 3, 5, 7, 11, 13, ? → సమాధానం 17.
  • 10, 12, 15, 20, 27, ? → తేడాలు 2, 3, 5, 7. తరువాత ప్రధాన సంఖ్య 11, కాబట్టి 27 + 11 = 38.

రెండవ ఉదాహరణలో తేడాలు 2, 3, 5, 7 చూసి చాలా మంది “ఏ క్రమం లేదు” అనుకుంటారు. తేడాలు అస్తవ్యస్తంగా కనిపిస్తే ప్రధాన సంఖ్యల జాబితాతో పోల్చండి.

రకం 6: రెండు శ్రేణులు కలిపినవి (Alternating Series)

ప్రత్యామ్నాయ శ్రేణి (alternating series) లో రెండు వేర్వేరు శ్రేణులు ఒకదాని తర్వాత ఒకటి వస్తాయి. Open Exam Prep ప్రకారం ఒకే వరుస తేడాల పట్టిక ఈ ఉచ్చును (trap) పట్టుకోలేదు, అందుకే బేసి-సరి స్థానాలు విడదీయాలి.

ఉదాహరణ 1: 7, 10, 8, 11, 9, 12, ?

  • ఆపరేషన్లు: +3, −2, +3, −2, +3.
  • తరువాత −2, కాబట్టి 12 − 2 = 10.

ఉదాహరణ 2: 1, 4, 3, 9, 5, 16, 7, ?

  • బేసి స్థానాలు: 1, 3, 5, 7 (బేసి సంఖ్యలు).
  • సరి స్థానాలు: 4, 9, 16 (వర్గాలు). తరువాత 5² = 25.
1, 4, 3, 9, 5, 16, 7, ? శ్రేణిలో బేసి స్థానాలు 1, 3, 5, 7 నీలం రంగులో, సరి స్థానాలు 4, 9, 16, ? పసుపు రంగులో, సమాధానం 5 వర్గం 25 అని చూపే రేఖాచిత్రం

రెండు శ్రేణులు కలిపినది: బేసి స్థానాల్లో బేసి సంఖ్యలు, సరి స్థానాల్లో వర్గాలు. లోపించినది 5² = 25.

ఉదాహరణ 3: 8, 10, 7, 14, 6, 18, ?

  • బేసి స్థానాలు 8, 7, 6 ఒక్కొక్కటి తగ్గుతున్నాయి. సరి స్థానాలు 10, 14, 18 నాలుగు చొప్పున పెరుగుతున్నాయి.
  • ఖాళీ 7వ స్థానం (బేసి), కాబట్టి సమాధానం 5.

రకం 7: కలిపిన operations (Combined Operations)

కలిపిన operations శ్రేణిలో ప్రతి అడుగులో రెండు పనులు జరుగుతాయి, ఉదాహరణకు ×2 చేసి +1 కలపడం. తేడాలు రెట్టింపు అవుతూ కొంచెం అటూ ఇటూ ఉంటే ఈ రకం అనుమానించండి.

  • 5, 11, 23, 47, ? → 5×2+1 = 11, 11×2+1 = 23, 23×2+1 = 47. సమాధానం 47×2+1 = 95.
  • 10, 21, 43, 87, ? → అదే ×2 +1 నియమం. సమాధానం 87×2+1 = 175.
  • 5, 10, 9, 18, 17, 34, ? → ×2, −1 మారి మారి వస్తాయి. సమాధానం 34 − 1 = 33.

ఫిబొనాకి (Fibonacci): 1, 1, 2, 3, 5, 8, ? లో ప్రతి సంఖ్య ముందున్న రెండు సంఖ్యల మొత్తం. సమాధానం 5 + 8 = 13.

మధ్యలో లోపించిన సంఖ్య (Missing Number) ఎలా కనుక్కోవాలి?

మధ్యలో లోపించిన సంఖ్యను కనుక్కోవడానికి ఖాళీకి రెండు వైపులా ఉన్న సంఖ్యలను వాడాలి. ముందు భాగం నియమం ఇస్తుంది, వెనుక భాగం ఆ నియమం సరైనదో చెబుతుంది.

ఉదాహరణ: 3, 6, 11, ?, 27, 38

  1. ఖాళీకి ముందు తేడాలు: 3, 5. ఇవి బేసి సంఖ్యలుగా 2 చొప్పున పెరుగుతున్నాయి.
  2. తరువాత తేడా 7, కాబట్టి ఖాళీ = 11 + 7 = 18.
  3. చెక్: 18 + 9 = 27 ✔, 27 + 11 = 38 ✔.

రెండు వైపులా చెక్ పాస్ అయితేనే సమాధానం గుర్తించండి.

మీ సమాధానాన్ని ఎలా చెక్ చేయాలి?

సమాధానం సరైనదో తెలుసుకోవడానికి మీ నియమంతో ఇచ్చిన ప్రతి సంఖ్యను మళ్లీ తయారు చేయండి. Open Exam Prep మాటల్లో, “always verify the candidate rule by regenerating every given term”.

  • Options చెక్: మీ సమాధానం options లో లేకపోతే, మీ నియమం తప్పు. లెక్క మళ్లీ చేయకముందే వేరే pattern ప్రయత్నించండి.
  • రెండు దారులు: 1, 3, 7, 15, 31 ను “తేడాలు రెట్టింపు” అని గానీ “×2 +1” అని గానీ చదవొచ్చు. రెండూ 63 ఇస్తే నమ్మకంగా గుర్తించండి.
  • వెనక్కి పని చేయడం: నియమం దొరకకపోతే, ప్రతి option ను ఖాళీలో పెట్టి తేడాలు సాఫీగా వస్తున్నాయో చూడండి.

పరీక్షలో ఏమి ఎక్కువగా అడుగుతారు? (Exam Focus)

గుర్తుంచుకోవాల్సినవి:

  • 1 నుంచి 30 వరకు వర్గాలు, 1 నుంచి 10 వరకు ఘనాలు.
  • 50 లోపు ప్రధాన సంఖ్యలు: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.
  • ×2 +1 శ్రేణులు: 3, 7, 15, 31, 63, 127 లాంటివి తరచూ కనిపిస్తాయి.

సాధారణ తప్పులు:

  • ప్రత్యామ్నాయ శ్రేణిని ఒకే శ్రేణిగా చూడటం. సంఖ్యలు ఒకసారి పెరిగి ఒకసారి తగ్గితే వెంటనే బేసి-సరి స్థానాలు విడదీయండి.
  • వర్గాల తేడాలను (1, 4, 9, 16, 25) గుర్తించకపోవడం.
  • మధ్యలో ఖాళీ ఉన్నప్పుడు వెనుక వైపు చెక్ చేయకపోవడం.

Open Exam Prep ఒక్కో ప్రశ్నకు 45-60 seconds లక్ష్యం పెట్టమని, ఏదీ సరిపోకపోతే “mark and move on” అని సూచిస్తుంది. ఈ పరీక్షలో calculator ఉండదు, కాబట్టి రెండు అంకెల ×2 లాంటి లెక్కలు నోటితో చేసే అలవాటు ఉండాలి.

నా సలహా: options చూసే ముందే తేడాలు కాగితం మీద రాయండి. తలలో “అనిపించిన” pattern కంటే రాసిన తేడాల వరుస ఎక్కువసార్లు సరైన దారి చూపిస్తుంది. రోజుకు పది శ్రేణులు ఇదే క్రమంలో చేస్తే, వారం తర్వాత ఏ రకమో ఒక్క చూపులో తెలుస్తుంది.

పరిమితి: చిన్న శ్రేణికి ఒకటి కంటే ఎక్కువ నియమాలు సరిపోవచ్చు. ఉదాహరణకు 1, 2, 4, ? లో ×2 అయితే 8, +1, +2, +3 అయితే 7 వస్తుంది. అలాంటప్పుడు options మాత్రమే ఏ నియమమో నిర్ణయిస్తాయి. ఆన్‌లైన్ answer keys ను కూడా గుడ్డిగా నమ్మకండి: ఒక గైడ్ 13, 17, 23, 31, 41 కు సమాధానం 5 అని ఇచ్చింది, కానీ తేడాలు 4, 6, 8, 10 ప్రకారం సరైన సమాధానం 53.

Reasoning లోని మిగతా టాపిక్‌ల కోసం Reasoning పోస్ట్‌ల పేజీ చూడండి.

ప్రాక్టీస్ ప్రశ్నలు

  1. 17, 23, 29, 35, 41, ? లో తరువాత సంఖ్య ఏది? (A) 45 (B) 47 (C) 49 (D) 53
సమాధానం

(B) 47. ప్రతి సంఖ్యకు 6 కలుపుతున్నారు, కాబట్టి 41 + 6 = 47.

  1. 2, 5, 10, 17, 26, ? లో తరువాత సంఖ్య ఏది? (A) 35 (B) 38 (C) 37 (D) 40
సమాధానం

(C) 37. తేడాలు 3, 5, 7, 9, తరువాత తేడా 11. కాబట్టి 26 + 11 = 37.

  1. 2, 6, 18, 54, 162, ? లో తరువాత సంఖ్య ఏది? (A) 324 (B) 384 (C) 648 (D) 486
సమాధానం

(D) 486. ప్రతిసారీ ×3. కాబట్టి 162 × 3 = 486.

  1. 121, 225, 361, 529, ? లో తరువాత సంఖ్య ఏది? (A) 729 (B) 625 (C) 676 (D) 784
సమాధానం

(A) 729. ఇవి 11², 15², 19², 23². మూల సంఖ్యలు 4 చొప్పున పెరుగుతున్నాయి, కాబట్టి 27² = 729.

  1. 10, 12, 15, 20, 27, ? లో తరువాత సంఖ్య ఏది? (A) 34 (B) 36 (C) 38 (D) 39
సమాధానం

(C) 38. తేడాలు 2, 3, 5, 7 వరుస ప్రధాన సంఖ్యలు. తరువాత ప్రధాన సంఖ్య 11, కాబట్టి 27 + 11 = 38.

  1. 7, 10, 8, 11, 9, 12, ? లో తరువాత సంఖ్య ఏది? (A) 13 (B) 10 (C) 14 (D) 15
సమాధానం

(B) 10. +3, −2 మారి మారి వస్తున్నాయి. చివర +3 వచ్చింది, కాబట్టి 12 − 2 = 10.

  1. 10, 21, 43, 87, ? లో తరువాత సంఖ్య ఏది? (A) 173 (B) 174 (C) 175 (D) 176
సమాధానం

(C) 175. ప్రతి సంఖ్యను ×2 చేసి 1 కలుపుతున్నారు. 87 × 2 + 1 = 175.

  1. 3, 6, 11, ?, 27, 38 లో లోపించిన సంఖ్య ఏది? (A) 16 (B) 17 (C) 18 (D) 19
సమాధానం

(C) 18. తేడాలు 3, 5, 7, 9, 11. ఖాళీ = 11 + 7 = 18, చెక్: 18 + 9 = 27, 27 + 11 = 38.

  1. 3, 4, 8, 17, 33, 58, ? లో తరువాత సంఖ్య ఏది? (A) 83 (B) 89 (C) 94 (D) 99
సమాధానం

(C) 94. తేడాలు 1, 4, 9, 16, 25 వర్గాలు. తరువాత తేడా 36, కాబట్టి 58 + 36 = 94.

  1. 13, 17, 23, 31, 41, ? లో తరువాత సంఖ్య ఏది? (A) 49 (B) 51 (C) 53 (D) 55
సమాధానం

(C) 53. తేడాలు 4, 6, 8, 10, తరువాత తేడా 12. కాబట్టి 41 + 12 = 53.

FAQ

Number series లో మొదట ఏమి చెక్ చేయాలి?

మొదట వరుస సంఖ్యల మధ్య తేడాలు (differences) రాయండి. తేడాలు స్థిరంగా లేకపోతే తేడాల తేడాలు, తర్వాత నిష్పత్తులు (ratios), తర్వాత బేసి-సరి స్థానాలు చూడండి.

లోపించిన సంఖ్య (missing number) మధ్యలో ఉంటే ఎలా కనుక్కోవాలి?

ఖాళీకి ముందున్న సంఖ్యల నుంచి నియమం కనుక్కుని ఖాళీని నింపండి. తర్వాత ఆ సంఖ్య నుంచి తరువాత ఉన్న సంఖ్యలు అదే నియమంతో వస్తున్నాయో చెక్ చేయండి.

నా సమాధానం options లో లేకపోతే ఏమి చేయాలి?

మీరు కనుక్కున్న నియమం తప్పు అని అర్థం. లెక్కను మళ్లీ చేయడం కంటే, వేరే pattern (ratio, బేసి-సరి స్థానాలు, వర్గాలు) ప్రయత్నించండి.

APPSC Group 2 లో number series ఏ భాగంలో వస్తుంది?

అధికారిక సిలబస్ ప్రకారం Screening Test లోని Mental Ability (30M) విభాగంలో Number Series ఉంది. Main Examination సిలబస్‌లో ఇది లేదు.

Sources

Nookesh Karri
Editor, Group 2 Notes

Writes and reviews the Group 2 Notes posts: APPSC Group 2 syllabus topics explained in Telugu, with practice questions.

Digital cardYouTube